Kiểm Tra _ Lần 4_ K12- Đề 2
- Nhận đường liên kết
- X
- Ứng dụng khác
| Trường THPT ĐÀO SƠN TÂY | KIỂM TRA THƯỜNG XUYÊN |
|---|---|
| Tổ Toán | Môn: Toán, Lớp 10 |
Mời các bạn nhập thông tin.
Danh sách câu
Câu 1. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S): x^2 + y^2 + z^2 + 2x - 4y + 4z - 7 = 0$. Tọa độ tâm $I$ và bán kính $R$ của mặt cầu $(S)$ là
Ta có $a = -1, b = 2, c = -2$ và $d = -7$.
Tâm của mặt cầu là $I(-1; 2; -2)$.
Bán kính $R = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + (-2)^2 - (-7)} = \sqrt{1 + 4 + 4 + 7} = \sqrt{16} = 4$.
Câu 2. Trong các phương trình sau, phương trình nào không phải là phương trình của mặt cầu?
Xét phương trình $x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 2y + 4z + 10 = 0$:
Có $a = 1, b = -1, c = -2, d = 10$.
Ta có $a^2 + b^2 + c^2 - d = 1^2 + (-1)^2 + (-2)^2 - 10 = 1 + 1 + 4 - 10 = -4 < 0$.
Vậy phương trình này không phải là phương trình mặt cầu.
Câu 3. Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên ${\mathbb{R}}.$ Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = f\left( x \right),y = 0, x = - 2$ và $x = 3$ (như hình vẽ). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Ta có
$ S = \displaystyle\int\limits_{ - 2}^3 {\left| f\left( x \right) \right|{\text{d}}x} = \displaystyle\int\limits_{ - 2}^1 {\left| f\left( x \right) \right|{\text{d}}x} + \displaystyle\int\limits_1^3 {\left| f\left( x \right) \right|{\text{d}}x} = \displaystyle\int\limits_{ - 2}^1 {f\left( x \right){\text{d}}x} - \displaystyle\int\limits_1^3 {f\left( x \right){\text{d}}x} $
Câu 4. Hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = 4 + 2x - x^2$ , $y = x^2$ , $x = - 1$ , $x = 2$ có diện tích là
Ta có:
$ 4 + 2x - x^2 = x^2\Leftrightarrow - 2x^2 + 2x + 4 = 0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x = - 1 \cr x = 2 \cr \end{matrix} \right.. $
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = 4 + 2x - x^2$ , $y = x^2$ , $x = - 1$ , $x = 2$ là
$ S = \displaystyle\int\limits_{ - 1}^2 {\left| 4 + 2x - x^2 - x^2 \right|{\text{d}}x}= \displaystyle\int\limits_{ - 1}^2 {\left( 4 + 2x - 2x^2 \right){\text{d}}x}= \left. {\left( 4x + x^2 - \dfrac{2x^3}{3} \right)} \right|_{ - 1}^2= 9 $
(đvdt).
Câu 5. Cho đường thẳng $\Delta$ có phương trình $\left\{ \begin{matrix} x = 3 - t \cr y = - 1 \cr z = 3t \cr \end{matrix} \right.{\text{ }}\left( t \in {\mathbb{R}} \right)$ . Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của $\Delta$ ?
$\Delta$ : $\left\{ \begin{matrix} x = 3 - t \cr y = - 1 \cr z = 3t \cr \end{matrix} \right.{\text{ }}\left( t \in {\mathbb{R}} \right)$ có một vectơ chỉ phương là ${\overrightarrow u_4} = \left( - 1;0;3 \right)$ .
Câu 6. Trong không gian $Oxyz$ , phương trình chính tắc của đường thẳng $AB$ với $A\left( 1;1;2 \right)$ và $B\left( - 4;3; - 2 \right)$ là:
Đường thẳng $AB$ đi qua điểm $B\left( - 4;3; - 2 \right)$ , nhận $\overrightarrow {AB} = \left( - 5;2; - 4 \right)$ làm vectơ chỉ phương, có phương trình chính tắc là: $\dfrac{x + 4}{ - 5} = \dfrac{y - 3}{2} = \dfrac{z + 2}{ - 4}$ .
Câu 7. Trong không gian $Oxyz,$ cho hai đường thẳng ${\Delta _1}:\left\{ \begin{matrix} x = 5 - 2t \cr y = 5 + 3t \cr z = 2t \cr \end{matrix} \right.$ , ${\Delta _2}:\dfrac{x - 1}{1} = \dfrac{y + 3}{ - 2} = \dfrac{z - 6}{4}$ . Góc giữa hai đường thẳng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ bằng
Ta có VTCP của ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ lần lượt là $\overrightarrow {a_1} \left( 2; - 3; 2 \right)$ và $\overrightarrow {a_2} \left( 1; - 2; 4 \right)\Rightarrow \overrightarrow {a_1} .\overrightarrow {a_2} = 0$
Vậy góc giữa ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ bằng $90^o$ .
Câu 8. Trong không gian Oxyz, tọa độ nào sau đây là tọa độ của một véctơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta :\left\{ {\begin{matrix} {x = 2 + 4t} \\ {y = 1 - 6t} \\ {z = 9t} \\ \end{matrix} } \right.,\left( t \in {\mathbb{R} } \right)?$
Từ phương trình $\Delta$ suy ra véctơ chỉ phương của $\Delta$ là $\overrightarrow u = \left( 4; - 6; 9 \right) = 12\left( \dfrac{1}{3}; \dfrac{ - 1}{2}; \dfrac{3}{4} \right)$
Câu 9. Cho $\displaystyle\int_{-2}^2 f(x) \mathrm{d}x = -1$ và $\displaystyle\int_{-2}^2 g(x) \mathrm{d}x = 3$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
a) Ta có $\displaystyle\int_{-2}^2 [f(x) + g(x)] \mathrm{d}x = \int_{-2}^2 f(x) \mathrm{d}x + \int_{-2}^2 g(x) \mathrm{d}x = (-1) + 3 = 2 \neq 8$. Suy ra ý a) sai.
b) Ta có $\displaystyle\int_{-2}^2 [f(x) - g(x)] \mathrm{d}x = \int_{-2}^2 f(x) \mathrm{d}x - \int_{-2}^2 g(x) \mathrm{d}x = (-1) - 3 = -4 \neq 4$. Suy ra ý b) sai.
c) Ta có $\displaystyle\int_{-2}^2 5f(x) \mathrm{d}x = 5 \int_{-2}^2 f(x) \mathrm{d}x = 5 \cdot (-1) = -5 \neq 5$. Suy ra ý c) sai.
d) Ta có $\displaystyle\int_{-2}^2 [3f(x) - 4g(x)] \mathrm{d}x = 3 \int_{-2}^2 f(x) \mathrm{d}x - 4 \int_{-2}^2 g(x) \mathrm{d}x = 3 \cdot (-1) - 4 \cdot 3 = -15$. Suy ra ý d) đúng.
Câu 10. Cho $\displaystyle\int\limits_0^m {\left( 3x^2 - 2x + 1 \right){\text{d}}x} = 6$ . Giá trị của tham số $m$ thuộc khoảng nào sau đây?
Ta có:
$ \displaystyle\int\limits_0^m {\left( 3x^2 - 2x + 1 \right){\text{d}}x} = \left. {\left( x^3 - x^2 + x \right)} \right|_0^m = m^3 - m^2 + m \displaystyle\int\limits_0^m {\left( 3x^2 - 2x + 1 \right){\text{d}}x} = 6\Leftrightarrow {m^3} - m^2 + m - 6 = 0 \Leftrightarrow m = 2 \in \left( 0 ; 4 \right) $
Vậy $m = 2 \in \left( 0 ; 4 \right)$ .
Câu 11. Cho $f(x)$ là hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ và $\displaystyle\int_0^1 f(x) \mathrm{d}x = 4$; $\displaystyle\int_0^3 f(x) \mathrm{d}x = 6$. Tính $I = \displaystyle\int_{-1}^3 f(|u|) \mathrm{d}u$.
Ta có $I = \displaystyle\int_{-1}^3 f(|u|) \mathrm{d}u = \int_{-1}^0 f(|u|) \mathrm{d}u + \int_0^3 f(|u|) \mathrm{d}u$.
a) Xét $I_1 = \displaystyle\int_{-1}^0 f(|u|) \mathrm{d}u$. Với $u \in [-1; 0]$ thì $|u| = -u$, nên $I_1 = \displaystyle\int_{-1}^0 f(-u) \mathrm{d}u$.
Đặt $x = -u \Rightarrow \mathrm{d}x = -\mathrm{d}u$. Đổi cận: $u = -1 \Rightarrow x = 1$; $u = 0 \Rightarrow x = 0$.
Suy ra $I_1 = -\displaystyle\int_1^0 f(x) \mathrm{d}x = \int_0^1 f(x) \mathrm{d}x = 4$.
b) Xét $I_2 = \displaystyle\int_0^3 f(|u|) \mathrm{d}u$. Với $u \in [0; 3]$ thì $|u| = u$, nên $I_2 = \displaystyle\int_0^3 f(u) \mathrm{d}u$.
Theo giả thiết $\displaystyle\int_0^3 f(x) \mathrm{d}x = 6$, suy ra $I_2 = 6$.
c) Vậy $I = I_1 + I_2 = 4 + 6 = 10$.
Câu 12. Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $M(1;0;0)$, $N(0;1;0)$ và $P(0;0;1)$. Cosin của góc giữa hai mặt phẳng $(MNP)$ và mặt phẳng $(Oxy)$ bằng
a) Phương trình mặt phẳng $(MNP)$ theo đoạn chắn là: $\dfrac{x}{1} + \dfrac{y}{1} + \dfrac{z}{1} = 1 \Leftrightarrow x + y + z - 1 = 0$.
Mặt phẳng $(MNP)$ có một VTPT là $\vec{n} = (1;1;1)$.
b) Mặt phẳng $(Oxy)$ có phương trình $z = 0$ nên có một VTPT là $\vec{k} = (0;0;1)$.
c) Gọi $\varphi$ là góc giữa hai mặt phẳng $(MNP)$ và $(Oxy)$. Ta có:
$\cos \varphi = \dfrac{|\vec{n} \cdot \vec{k}|}{|\vec{n}| \cdot |\vec{k}|} = \dfrac{|1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 1|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2} \cdot \sqrt{0^2+0^2+1^2}} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}.$
Câu 13. Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d: \dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{z+2}{2}$ và mặt phẳng $(P): 2x - y + z - 5 = 0$.
a) $d$ có VTCP $\vec{u} = (2; 1; 2)$, $(P)$ có VTPT $\vec{n} = (2; -1; 1)$.
Ta có $\sin \varphi = \dfrac{|2\cdot 2 + 1\cdot (-1) + 2\cdot 1|}{\sqrt{2^2+1^2+2^2}\cdot\sqrt{2^2+(-1)^2+1^2}} = \dfrac{5}{3\sqrt{6}}$. Suy ra ý a) ĐÚNG.
b) Hình chiếu của $d$ trên $(Oxy)$ có VTCP là hình chiếu của $\vec{u}$ trên mặt phẳng $(Oxy)$, tức là $\vec{u}' = (2; 1; 0)$.
Góc $\beta$ giữa $d'$ và $Ox(1;0;0)$ thỏa mãn $\cos \beta = \dfrac{|2|}{\sqrt{5}\cdot 1} = \dfrac{2}{\sqrt{5}} \Rightarrow \beta \approx 26,57^\circ \neq 45^\circ$. Suy ra ý b) SAI.
c) $(Q)$ chứa $d$ và vuông góc $(P)$ nên có VTPT $\vec{n}_Q = [\vec{u}, \vec{n}] = (1-(-2); 4-2; -2-2) = (3; 2; -4)$. Suy ra ý c) ĐÚNG.
d) $\Delta \subset (P)$ và $\Delta \perp d$ nên VTCP của $\Delta$ là $\vec{v} = [\vec{n}, \vec{u}] = (-3; -2; 4)$.
Gọi $\gamma$ là góc giữa $\Delta$ và $Oz(0;0;1)$, ta có $\cos \gamma = \dfrac{|4|}{\sqrt{9+4+16}\cdot 1} = \dfrac{4}{\sqrt{29}} \approx 0,743 \Rightarrow \gamma \approx 42^\circ < 60^\circ$. Suy ra ý d) SAI.
a) Góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ là $\varphi$, khi đó $\sin \varphi = \dfrac{5}{3\sqrt{6}}$
b) Đường thẳng $d'$ là hình chiếu vuông góc của $d$ trên mặt phẳng $(Oxy)$. Góc giữa $d'$ và trục $Ox$ bằng $45^\circ$
c) Gọi $(Q)$ là mặt phẳng chứa đường thẳng $d$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$. Khi đó mặt phẳng $(Q)$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n}_Q = (3; 2; -4)$
d) Đường thẳng $\Delta$ nằm trong $(P)$, cắt và vuông góc với $d$. Số đo góc giữa $\Delta$ và trục $Oz$ lớn hơn $60^\circ$
Câu 14. Trong không gian $Oxyz$ cho hình hộp chữ nhật $OABC.O'A'B'C'$ với $O$ là gốc tọa độ, $A\left( 2;0;0 \right)$ , $C\left( 0;3;0 \right)$ , $O'\left( 0;0;4 \right)$ . Ta có
Gắn hệ trục $Oxyz$ như hình vẽ, ta có tọa độ các đỉnh của hình hộp
$O\left( 0;0;0 \right),A\left( 2;0;0 \right);B\left( 2;3;0 \right),C\left( 0;3;0 \right)$ , $O'\left( 0;0;4 \right),A'\left( 2;0;4 \right);B'\left( 2;3;4 \right),C'\left( 0;3;4 \right)$
( $a$ ) Mặt cầu tâm $O$ , bán kính $OA$ có phương trình là $x^2 + y^2 + z^2 = 2$ .
Ta có $OA = 2$ , mặt cầu tâm $O$ , bán kính $OA$ có phương trình là $x^2 + y^2 + z^2 = 4$ .
» Chọn SAI.
( $b$ ) Mặt cầu tâm $A$ , đi qua $C$ có phương trình là ${\left( x - 2 \right)^2} + y^2 + z^2 = 13$ .
Ta có $A{C^2} = O{A^2} + O{C^2} = 4 + 9 = 13 \Rightarrow$ mặt cầu tâm $A$ , đi qua $C$ có phương trình là ${\left( x - 2 \right)^2} + y^2 + z^2 = 13$ .
» Chọn ĐÚNG.
( $c$ )
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $O$ lên $\left( ACO' \right)$ , mặt cầu tâm $O$ đi qua $H$ có phương trình là $x^2 + y^2 + z^2 = \dfrac{12}{61}$ .
Ta có $\left( ACO' \right):\dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{3} + \dfrac{z}{4} = 1 \Leftrightarrow 6x + 4y + 3z - 12 = 0$ .
$R = d\left( O,\left( ACO' \right) \right) = \dfrac{\left | - 12 \right |}{\sqrt{36 + 16 + 9}} = \dfrac{12}{\sqrt{61}}$ .
Vậy phương trình mặt cầu $x^2 + y^2 + z^2 = \dfrac{144}{61}$
» Chọn SAI.
( $d$ ) Mặt cầu đi qua các đỉnh của hình hộp có phương trình là ${\left( x - 1 \right)^2} + {\left( y - \dfrac{3}{2} \right)^2} + {\left( z - 2 \right)^2} = \dfrac{29}{4}$ .
Mặt cầu đi qua các đỉnh của hình hộp có tâm $I$ là trung điểm của $OB' \Rightarrow I\left( 1;\dfrac{3}{2};2 \right)$ và có bán kính $R = \dfrac{OB'}{2} = \dfrac{\sqrt{29}}{2}$ .
Phương trình mặt cầu là ${\left( x - 1 \right)^2} + {\left( y - \dfrac{3}{2} \right)^2} + {\left( z - 2 \right)^2} = \dfrac{29}{4}$ .
» Chọn ĐÚNG.
a) Mặt cầu tâm $O$ , bán kính $OA$ có phương trình là $x^2 + y^2 + z^2 = 2$
b) Mặt cầu tâm $A$ , đi qua $C$ có phương trình là ${\left( x - 2 \right)^2} + y^2 + z^2 = 13$
c) Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $O$ lên $\left( ACO' \right)$ , mặt cầu tâm $O$ đi qua $H$ có phương trình là $x^2 + y^2 + z^2 = \dfrac{12}{61}$
d) Mặt cầu đi qua các đỉnh của hình hộp có phương trình là ${\left( x - 1 \right)^2} + {\left( y - \dfrac{3}{2} \right)^2} + {\left( z - 2 \right)^2} = \dfrac{29}{4}$
Câu 15. Trong không gian $Oxyz$, cho bốn điểm $A(1; 1; 4), B(2; 7; 9), C(1; -4; 10)$ và $D(2; -5; 7)$. Mệnh đề nào sau đây đúng, mệnh đề nào sai?
a) ĐÚNG. Ta có $\overrightarrow{AB} = (2-1; 7-1; 9-4) = (1; 6; 5)$.
Suy ra $\overrightarrow{AB} = 1\overrightarrow{i} + 6\overrightarrow{j} + 5\overrightarrow{k}$.
b) ĐÚNG. Ta có $\overrightarrow{AC} = (1-1; -4-1; 10-4) = (0; -5; 6)$.
Xét tích vô hướng: $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 1\cdot 0 + 6\cdot (-5) + 5\cdot 6 = 0$.
Vậy tam giác $ABC$ vuông tại $A$.
c) SAI. Mặt phẳng đi qua $B(2; 7; 9)$ và vuông góc với $AC$ nhận $\overrightarrow{AC} = (0; -5; 6)$ làm vectơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng: $0(x - 2) - 5(y - 7) + 6(z - 9) = 0 \Leftrightarrow -5y + 6z - 19 = 0$.
d) ĐÚNG. Ta có $\overrightarrow{AB} = (1; 6; 5)$ và $\overrightarrow{CD} = (2-1; -5-(-4); 7-10) = (1; -1; -3)$.
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa $AB$ và song song $CD$ là $\vec{n} = [\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD}] = (-13; 8; -7)$.
Phương trình mặt phẳng: $-13(x - 1) + 8(y - 1) - 7(z - 4) = 0 \Leftrightarrow 13x - 8y + 7z - 33 = 0$.
a) $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{i} + 6\overrightarrow{j} + 5\overrightarrow{k}$
b) Tam giác $ABC$ vuông tại $A$
c) Phương trình mặt phẳng đi qua $B$ và vuông góc với $AC$ là $x - 8y - 9z + 14 = 0$
d) Phương trình mặt phẳng chứa $AB$ và song song với $CD$ là $13x - 8y + 7z - 33 = 0$
Câu 16. Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d: \dfrac{x-1}{1} = \dfrac{y+1}{2} = \dfrac{z}{-1}$ và mặt phẳng $(P): 2x + y + 2z + 8 = 0$. Mặt cầu $(S)$ có tâm $I$ thuộc đường thẳng $d$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(P)$. Biết bán kính mặt cầu bằng $3$, mệnh đề nào sau đây đúng, mệnh đề nào sai?
a) ĐÚNG. Từ phương trình chính tắc của $d: \dfrac{x-1}{1} = \dfrac{y+1}{2} = \dfrac{z}{-1}$, ta có một vectơ chỉ phương là $\vec{u} = (1; 2; -1)$.
b) SAI. Tâm $I \in d$ nên tọa độ tổng quát của $I$ là $I(1+t; -1+2t; -t)$.
c) ĐÚNG. Mặt cầu $(S)$ tiếp xúc với $(P)$ nên $d(I, (P)) = R = 3$.
$\Leftrightarrow \dfrac{|2(1+t) + (-1+2t) + 2(-t) + 8|}{\sqrt{2^2+1^2+2^2}} = 3 \Leftrightarrow \dfrac{|2t+9|}{3} = 3 \Leftrightarrow |2t+9| = 9 \Leftrightarrow \left[\begin{smallmatrix} t = 0 \\ t = -9 \end{smallmatrix}\right.$.
Ứng với mỗi giá trị $t$ ta có một tâm $I$ tương ứng, vậy có 2 mặt cầu thỏa mãn.
d) SAI. Với $t < 0 \Rightarrow t = -9$. Thay vào tọa độ tâm $I$ ta được $I(-8; -19; 9)$.
Khi đó phương trình mặt cầu $(S)$ là: $(x+8)^2 + (y+19)^2 + (z-9)^2 = 9$.
a) Đường thẳng $d$ có một vectơ chỉ phương là $\vec{u} = (1; 2; -1)$
b) Tọa độ tổng quát của tâm $I$ là $(1+t; -1+2t; t)$
c) Có hai mặt cầu thỏa mãn yêu cầu bài toán
d) Với $t < 0$, mặt cầu $(S)$ có phương trình $(x+8)^2 + (y+19)^2 + (z-9)^2 = 9$
Câu 17. Trong không gian $Oxyz$, có bao nhiêu giá trị nguyên dương $m$ để phương trình $x^2 + y^2 + z^2 + 4x - 6y + 2z + m = 0$ là phương trình của một mặt cầu?
Hệ số của phương trình là: $a = -2, b = 3, c = -1, d = m$.
Để phương trình đã cho là phương trình của một mặt cầu, điều kiện là:
$a^2 + b^2 + c^2 - d > 0 \Leftrightarrow (-2)^2 + 3^2 + (-1)^2 - m > 0$
$\Leftrightarrow 4 + 9 + 1 - m > 0 \Leftrightarrow 14 - m > 0 \Leftrightarrow m < 14$.
Vì $m$ là số nguyên dương nên $m \in \{1; 2; 3; \dots; 13\}$.
Vậy có $13$ giá trị nguyên dương của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 18. Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(0; 1; 2), B(2; 3; 0)$ và đường thẳng $d: \begin{cases} x = 1 + t \\ y = t \\ z = -1 - t \end{cases}$. Gọi $(S)$ là mặt cầu đi qua hai điểm $A, B$ và có tâm thuộc đường thẳng $d$. Bán kính của mặt cầu $(S)$ có dạng $R = a\sqrt{b}$ ($a, b$ là các số nguyên dương). Tính giá trị của $P = a + b$.
Tâm $I \in d \Rightarrow I(1 + t; t; -1 - t)$.
Ta có $\overrightarrow{AI} = (1 + t; t - 1; -3 - t)$ và $\overrightarrow{BI} = (t - 1; t - 3; -1 - t)$.
Vì mặt cầu $(S)$ đi qua $A, B$ nên $IA = IB \Leftrightarrow IA^2 = IB^2$
$\Leftrightarrow (1 + t)^2 + (t - 1)^2 + (-3 - t)^2 = (t - 1)^2 + (t - 3)^2 + (-1 - t)^2$
$\Leftrightarrow (t^2 + 2t + 1) + (t^2 + 6t + 9) = (t^2 - 6t + 9) + (t^2 + 2t + 1)$
$\Leftrightarrow 8t + 10 = -4t + 10 \Leftrightarrow 12t = 0 \Leftrightarrow t = 0$.
Với $t = 0 \Rightarrow I(1; 0; -1)$.
Bán kính $R = IA = \sqrt{(1-0)^2 + (0-1)^2 + (-1-2)^2} = \sqrt{1 + 1 + 9} = \sqrt{11}$.
Dạng $a\sqrt{b} = 1\sqrt{11} \Rightarrow a = 1, b = 11$.
Vậy $P = a + b = 12$.
Câu 19. Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(1; 2; 1)$ và đường thẳng $d: \dfrac{x}{1} = \dfrac{y - 1}{2} = \dfrac{z - 2}{1}$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $d$. Biết đường thẳng $AH$ có một vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a; b; c)$ với $a, b, c \in \mathbb{Z}$ và là các số nguyên tố cùng nhau, $a > 0$. Tính giá trị của biểu thức $P = a + b + c$.
Phương trình tham số của $d$: $\begin{cases} x = t \\ y = 1 + 2t \\ z = 2 + t \end{cases}$. Vectơ chỉ phương của $d$ là $\vec{u}_d = (1; 2; 1)$.
Vì $H \in d$ nên $H(t; 1 + 2t; 2 + t)$, suy ra $\overrightarrow{AH} = (t - 1; 2t - 1; t + 1)$.
Vì $AH \perp d$ nên $\overrightarrow{AH} \cdot \vec{u}_d = 0 \Leftrightarrow 1(t - 1) + 2(2t - 1) + 1(t + 1) = 0$
$\Leftrightarrow 6t - 2 = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac{1}{3}$.
Khi đó $\overrightarrow{AH} = \left( \dfrac{1}{3} - 1; \dfrac{2}{3} - 1; \dfrac{1}{3} + 1 \right) = \left( -\dfrac{2}{3}; -\dfrac{1}{3}; \dfrac{4}{3} \right)$.
Chọn vectơ chỉ phương nguyên $\vec{u} = -3\overrightarrow{AH} = (2; 1; -4)$ (thỏa mãn $a, b, c \in \mathbb{Z}$, nguyên tố cùng nhau và $a > 0$).
Vậy $P = a + b + c = 2 + 1 + (-4) = -1$.
Câu 20. Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), C(3; -1; 1)$ và $M(1; 1; 5)$. Tính khoảng cách từ điểm $M$ đến mặt phẳng $(ABC)$. (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Ta có $\overrightarrow{AB} = (1; 1; 1)$ và $\overrightarrow{AC} = (2; -1; 0)$.
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(ABC)$ là $\vec{n} = [\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}] = (1; 2; -3)$.
Phương trình mặt phẳng $(ABC)$ đi qua $A(1; 0; 1)$ là:
$1(x - 1) + 2(y - 0) - 3(z - 1) = 0 \Leftrightarrow x + 2y - 3z + 2 = 0$.
Khoảng cách từ $M(1; 1; 5)$ đến mặt phẳng $(ABC)$ là:
$d(M, (ABC)) = \dfrac{|1 + 2(1) - 3(5) + 2|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-3)^2}} = \dfrac{10}{\sqrt{14}} \approx 2,6726$.
Đáp án: $2,67$.
Câu 21. Tính diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = x^2$ và $y = \sqrt{x}$. (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ $2$).
Phương trình hoành độ giao điểm: $x^2 = \sqrt{x} \Leftrightarrow x^4 = x \Leftrightarrow x(x^3 - 1) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} x &= 0 \\ x &= 1 \end{aligned}\right.$.
Diện tích hình phẳng cần tìm là:
$S = \displaystyle\int\limits_0^1 |x^2 - \sqrt{x}| \text{d}x = \displaystyle\int\limits_0^1 (\sqrt{x} - x^2) \text{d}x$
$= \left. \left( \dfrac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - \dfrac{x^3}{3} \right) \right|_0^1 = \dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{3} \approx 0,33$.
Đáp án: $0,33$
Câu 22. Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(0; 1; 3), B(1; 3; 2)$ và mặt phẳng $(P): x + y - 2z + 1 = 0$. Phương trình mặt phẳng $(Q)$ đi qua hai điểm $A, B$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$ có dạng $(Q): ax + by + cz + 4 = 0$. Tính $T = a + b + c$.
Ta có $\overrightarrow{AB} = (1; 2; -1)$.
Mặt phẳng $(P)$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n}_P = (1; 1; -2)$.
Vì mặt phẳng $(Q)$ đi qua $A, B$ và vuông góc với $(P)$ nên $(Q)$ có một vectơ pháp tuyến là:
$\vec{n}_Q = [\overrightarrow{AB}, \vec{n}_P] = \left( \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ -2 & 1 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} \right) = (-3; 1; -1)$.
Phương trình mặt phẳng $(Q)$ đi qua điểm $A(0; 1; 3)$ là:
$-3(x - 0) + 1(y - 1) - 1(z - 3) = 0 \Leftrightarrow -3x + y - z + 2 = 0$.
Để đưa về dạng $(Q): ax + by + cz + 4 = 0$ (hệ số tự do là $+4$), ta nhân hai vế của phương trình cho $2$:
$-6x + 2y - 2z + 4 = 0$.
Suy ra $a = -6, b = 2, c = -2$.
Vậy $T = a + b + c = -6 + 2 + (-2) = -6$.
Số điểm
⚠️ CẢNH BÁO VI PHẠM
Hệ thống phát hiện bạn đã rời khỏi màn hình làm bài hoặc cố gắng chia đôi màn hình.
Vi phạm: 0 /
Nếu vượt quá số lần quy định, bài thi sẽ tự động bị nộp.
- Nhận đường liên kết
- X
- Ứng dụng khác
Nhận xét
Đăng nhận xét