Kiểm Tra _ Lần 4_ K12- Đề 3
- Nhận đường liên kết
- X
- Ứng dụng khác
| Trường THPT ĐÀO SƠN TÂY | KIỂM TRA THƯỜNG XUYÊN |
|---|---|
| Tổ Toán | Môn: Toán, Lớp 10 |
Mời các bạn nhập thông tin.
Danh sách câu
Câu 1. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S): x^2 + y^2 + z^2 - 6x + 4z - 12 = 0$. Tọa độ tâm $I$ và bán kính $R$ của mặt cầu $(S)$ là
Ta có $a = 3, b = 0, c = -2$ và $d = -12$.
Tâm của mặt cầu là $I(3; 0; -2)$.
Bán kính $R = \sqrt{3^2 + 0^2 + (-2)^2 - (-12)} = \sqrt{9 + 0 + 4 + 12} = \sqrt{25} = 5$.
Câu 2. Trong các phương trình sau, phương trình nào không phải là phương trình của mặt cầu?
Xét phương trình $x^2 + y^2 + z^2 + 2x - 4y + 2z + 6 = 0$:
Có $a = -1, b = 2, c = -1, d = 6$.
Ta có $a^2 + b^2 + c^2 - d = (-1)^2 + 2^2 + (-1)^2 - 6 = 1 + 4 + 1 - 6 = 0$.
Vì $a^2 + b^2 + c^2 - d = 0$ nên phương trình này không phải là phương trình mặt cầu (đây là phương trình của một điểm).
Câu 3. Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên ${\mathbb{R}}.$ Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = f\left( x \right),y = 0, x = - 2$ và $x = 3$ (như hình vẽ). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Ta có
$ S = \displaystyle\int\limits_{ - 2}^3 {\left| f\left( x \right) \right|{\text{d}}x} = \displaystyle\int\limits_{ - 2}^1 {\left| f\left( x \right) \right|{\text{d}}x} + \displaystyle\int\limits_1^3 {\left| f\left( x \right) \right|{\text{d}}x} = \displaystyle\int\limits_{ - 2}^1 {f\left( x \right){\text{d}}x} - \displaystyle\int\limits_1^3 {f\left( x \right){\text{d}}x} $
Câu 4. Hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = 4 + 2x - x^2$ , $y = x^2$ , $x = - 1$ , $x = 2$ có diện tích là
Ta có:
$ 4 + 2x - x^2 = x^2\Leftrightarrow - 2x^2 + 2x + 4 = 0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x = - 1 \cr x = 2 \cr \end{matrix} \right.. $
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = 4 + 2x - x^2$ , $y = x^2$ , $x = - 1$ , $x = 2$ là
$ S = \displaystyle\int\limits_{ - 1}^2 {\left| 4 + 2x - x^2 - x^2 \right|{\text{d}}x}= \displaystyle\int\limits_{ - 1}^2 {\left( 4 + 2x - 2x^2 \right){\text{d}}x}= \left. {\left( 4x + x^2 - \dfrac{2x^3}{3} \right)} \right|_{ - 1}^2= 9 $
(đvdt).
Câu 5. Cho đường thẳng $\Delta$ có phương trình $\left\{ \begin{matrix} x = 3 - t \cr y = - 1 \cr z = 3t \cr \end{matrix} \right.{\text{ }}\left( t \in {\mathbb{R}} \right)$ . Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của $\Delta$ ?
$\Delta$ : $\left\{ \begin{matrix} x = 3 - t \cr y = - 1 \cr z = 3t \cr \end{matrix} \right.{\text{ }}\left( t \in {\mathbb{R}} \right)$ có một vectơ chỉ phương là ${\overrightarrow u_4} = \left( - 1;0;3 \right)$ .
Câu 6. Trong không gian $Oxyz$ , phương trình chính tắc của đường thẳng $AB$ với $A\left( 1;1;2 \right)$ và $B\left( - 4;3; - 2 \right)$ là:
Đường thẳng $AB$ đi qua điểm $B\left( - 4;3; - 2 \right)$ , nhận $\overrightarrow {AB} = \left( - 5;2; - 4 \right)$ làm vectơ chỉ phương, có phương trình chính tắc là: $\dfrac{x + 4}{ - 5} = \dfrac{y - 3}{2} = \dfrac{z + 2}{ - 4}$ .
Câu 7. Trong không gian $Oxyz,$ cho hai đường thẳng ${\Delta _1}:\left\{ \begin{matrix} x = 5 - 2t \cr y = 5 + 3t \cr z = 2t \cr \end{matrix} \right.$ , ${\Delta _2}:\dfrac{x - 1}{1} = \dfrac{y + 3}{ - 2} = \dfrac{z - 6}{4}$ . Góc giữa hai đường thẳng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ bằng
Ta có VTCP của ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ lần lượt là $\overrightarrow {a_1} \left( 2; - 3; 2 \right)$ và $\overrightarrow {a_2} \left( 1; - 2; 4 \right)\Rightarrow \overrightarrow {a_1} .\overrightarrow {a_2} = 0$
Vậy góc giữa ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ bằng $90^o$ .
Câu 8. Trong không gian Oxyz, tọa độ nào sau đây là tọa độ của một véctơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta :\left\{ {\begin{matrix} {x = 2 + 4t} \\ {y = 1 - 6t} \\ {z = 9t} \\ \end{matrix} } \right.,\left( t \in {\mathbb{R} } \right)?$
Từ phương trình $\Delta$ suy ra véctơ chỉ phương của $\Delta$ là $\overrightarrow u = \left( 4; - 6; 9 \right) = 12\left( \dfrac{1}{3}; \dfrac{ - 1}{2}; \dfrac{3}{4} \right)$
Câu 9. Cho $\displaystyle\int_{-2}^2 f(x) \mathrm{d}x = -1$ và $\displaystyle\int_{-2}^2 g(x) \mathrm{d}x = 3$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
a) Ta có $\displaystyle\int_{-2}^2 [f(x) + g(x)] \mathrm{d}x = \int_{-2}^2 f(x) \mathrm{d}x + \int_{-2}^2 g(x) \mathrm{d}x = (-1) + 3 = 2 \neq 8$. Suy ra ý a) sai.
b) Ta có $\displaystyle\int_{-2}^2 [f(x) - g(x)] \mathrm{d}x = \int_{-2}^2 f(x) \mathrm{d}x - \int_{-2}^2 g(x) \mathrm{d}x = (-1) - 3 = -4 \neq 4$. Suy ra ý b) sai.
c) Ta có $\displaystyle\int_{-2}^2 5f(x) \mathrm{d}x = 5 \int_{-2}^2 f(x) \mathrm{d}x = 5 \cdot (-1) = -5 \neq 5$. Suy ra ý c) sai.
d) Ta có $\displaystyle\int_{-2}^2 [3f(x) - 4g(x)] \mathrm{d}x = 3 \int_{-2}^2 f(x) \mathrm{d}x - 4 \int_{-2}^2 g(x) \mathrm{d}x = 3 \cdot (-1) - 4 \cdot 3 = -15$. Suy ra ý d) đúng.
Câu 10. Cho $\displaystyle\int\limits_0^m {\left( 3x^2 - 2x + 1 \right){\text{d}}x} = 6$ . Giá trị của tham số $m$ thuộc khoảng nào sau đây?
Ta có:
$ \displaystyle\int\limits_0^m {\left( 3x^2 - 2x + 1 \right){\text{d}}x} = \left. {\left( x^3 - x^2 + x \right)} \right|_0^m = m^3 - m^2 + m \displaystyle\int\limits_0^m {\left( 3x^2 - 2x + 1 \right){\text{d}}x} = 6\Leftrightarrow {m^3} - m^2 + m - 6 = 0 \Leftrightarrow m = 2 \in \left( 0 ; 4 \right) $
Vậy $m = 2 \in \left( 0 ; 4 \right)$ .
Câu 11. Cho $f(x)$ là hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ và $\displaystyle\int_0^1 f(x) \mathrm{d}x = 4$; $\displaystyle\int_0^3 f(x) \mathrm{d}x = 6$. Tính $I = \displaystyle\int_{-1}^3 f(|u|) \mathrm{d}u$.
Ta có $I = \displaystyle\int_{-1}^3 f(|u|) \mathrm{d}u = \int_{-1}^0 f(|u|) \mathrm{d}u + \int_0^3 f(|u|) \mathrm{d}u$.
a) Xét $I_1 = \displaystyle\int_{-1}^0 f(|u|) \mathrm{d}u$. Với $u \in [-1; 0]$ thì $|u| = -u$, nên $I_1 = \displaystyle\int_{-1}^0 f(-u) \mathrm{d}u$.
Đặt $x = -u \Rightarrow \mathrm{d}x = -\mathrm{d}u$. Đổi cận: $u = -1 \Rightarrow x = 1$; $u = 0 \Rightarrow x = 0$.
Suy ra $I_1 = -\displaystyle\int_1^0 f(x) \mathrm{d}x = \int_0^1 f(x) \mathrm{d}x = 4$.
b) Xét $I_2 = \displaystyle\int_0^3 f(|u|) \mathrm{d}u$. Với $u \in [0; 3]$ thì $|u| = u$, nên $I_2 = \displaystyle\int_0^3 f(u) \mathrm{d}u$.
Theo giả thiết $\displaystyle\int_0^3 f(x) \mathrm{d}x = 6$, suy ra $I_2 = 6$.
c) Vậy $I = I_1 + I_2 = 4 + 6 = 10$.
Câu 12. Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $M(1;0;0)$, $N(0;1;0)$ và $P(0;0;1)$. Cosin của góc giữa hai mặt phẳng $(MNP)$ và mặt phẳng $(Oxy)$ bằng
a) Phương trình mặt phẳng $(MNP)$ theo đoạn chắn là: $\dfrac{x}{1} + \dfrac{y}{1} + \dfrac{z}{1} = 1 \Leftrightarrow x + y + z - 1 = 0$.
Mặt phẳng $(MNP)$ có một VTPT là $\vec{n} = (1;1;1)$.
b) Mặt phẳng $(Oxy)$ có phương trình $z = 0$ nên có một VTPT là $\vec{k} = (0;0;1)$.
c) Gọi $\varphi$ là góc giữa hai mặt phẳng $(MNP)$ và $(Oxy)$. Ta có:
$\cos \varphi = \dfrac{|\vec{n} \cdot \vec{k}|}{|\vec{n}| \cdot |\vec{k}|} = \dfrac{|1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 1|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2} \cdot \sqrt{0^2+0^2+1^2}} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}.$
Câu 13. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P): x + y + z - 3 = 0$ và đường thẳng $d: \begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 - t \\ z = 1 + mt \end{cases}$ ($m$ là tham số).
a) ĐÚNG. Khi $m=0$, $d$ có VTCP $\vec{u}=(1;-1;0)$. $(P)$ có VTPT $\vec{n}=(1;1;1)$.
Ta có $\sin(d, (P)) = \dfrac{|1-1+0|}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}} = 0 \Rightarrow (d, (P)) = 0^\circ$.
b) ĐÚNG. Ta có $\sin 30^\circ = \dfrac{|m|}{\sqrt{2+m^2}\cdot\sqrt{3}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{4} = \dfrac{m^2}{3(m^2+2)} \Leftrightarrow 3m^2 + 6 = 4m^2 \Leftrightarrow m = \pm\sqrt{6}$.
c) SAI. $d_1$ là giao tuyến của $(P)$ và mặt phẳng $(Oyz)$ ($x=0$) nên có VTCP $\vec{v} = [\vec{n}_P, \vec{i}] = (0; 1; -1)$.
Góc giữa $d_1$ và $Oy(0;1;0)$ thỏa mãn $\cos \alpha = \dfrac{|1|}{\sqrt{2}\cdot 1} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \alpha = 45^\circ \neq 60^\circ$.
d) SAI. Mặt phẳng $(Q)$ chứa $Ox$ và đi qua $K(0;1;1)$ nên có VTPT $\vec{n}_Q = [\overrightarrow{OK}, \vec{i}] = (0; 1; -1)$.
Góc $\beta$ giữa $(P)$ và $(Q)$ thỏa mãn $\cos \beta = \dfrac{|1\cdot 0 + 1\cdot 1 + 1\cdot (-1)|}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{2}} = 0 \Rightarrow \beta = 90^\circ \neq 30^\circ$.
a) Khi $m = 0$, góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ bằng $0^\circ$
b) Có đúng hai giá trị của $m$ để đường thẳng $d$ tạo với mặt phẳng $(P)$ một góc $30^\circ$
c) Gọi $d_1$ là giao tuyến của $(P)$ và mặt phẳng $(Oyz)$. Góc giữa $d_1$ và trục $Oy$ bằng $60^\circ$
d) Gọi $(Q)$ là mặt phẳng chứa trục $Ox$ và đi qua điểm $K(0; 1; 1)$. Khi đó số đo góc giữa mặt phẳng $(P)$ và mặt phẳng $(Q)$ bằng $30^\circ$
Câu 14. Trong không gian $Oxyz$ cho hình hộp chữ nhật $OABC.O'A'B'C'$ với $O$ là gốc tọa độ, $A\left( 2;0;0 \right)$ , $C\left( 0;3;0 \right)$ , $O'\left( 0;0;4 \right)$ . Ta có
Gắn hệ trục $Oxyz$ như hình vẽ, ta có tọa độ các đỉnh của hình hộp
$O\left( 0;0;0 \right),A\left( 2;0;0 \right);B\left( 2;3;0 \right),C\left( 0;3;0 \right)$ , $O'\left( 0;0;4 \right),A'\left( 2;0;4 \right);B'\left( 2;3;4 \right),C'\left( 0;3;4 \right)$
( $a$ ) Mặt cầu tâm $O$ , bán kính $OA$ có phương trình là $x^2 + y^2 + z^2 = 2$ .
Ta có $OA = 2$ , mặt cầu tâm $O$ , bán kính $OA$ có phương trình là $x^2 + y^2 + z^2 = 4$ .
» Chọn SAI.
( $b$ ) Mặt cầu tâm $A$ , đi qua $C$ có phương trình là ${\left( x - 2 \right)^2} + y^2 + z^2 = 13$ .
Ta có $A{C^2} = O{A^2} + O{C^2} = 4 + 9 = 13 \Rightarrow$ mặt cầu tâm $A$ , đi qua $C$ có phương trình là ${\left( x - 2 \right)^2} + y^2 + z^2 = 13$ .
» Chọn ĐÚNG.
( $c$ )
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $O$ lên $\left( ACO' \right)$ , mặt cầu tâm $O$ đi qua $H$ có phương trình là $x^2 + y^2 + z^2 = \dfrac{12}{61}$ .
Ta có $\left( ACO' \right):\dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{3} + \dfrac{z}{4} = 1 \Leftrightarrow 6x + 4y + 3z - 12 = 0$ .
$R = d\left( O,\left( ACO' \right) \right) = \dfrac{\left | - 12 \right |}{\sqrt{36 + 16 + 9}} = \dfrac{12}{\sqrt{61}}$ .
Vậy phương trình mặt cầu $x^2 + y^2 + z^2 = \dfrac{144}{61}$
» Chọn SAI.
( $d$ ) Mặt cầu đi qua các đỉnh của hình hộp có phương trình là ${\left( x - 1 \right)^2} + {\left( y - \dfrac{3}{2} \right)^2} + {\left( z - 2 \right)^2} = \dfrac{29}{4}$ .
Mặt cầu đi qua các đỉnh của hình hộp có tâm $I$ là trung điểm của $OB' \Rightarrow I\left( 1;\dfrac{3}{2};2 \right)$ và có bán kính $R = \dfrac{OB'}{2} = \dfrac{\sqrt{29}}{2}$ .
Phương trình mặt cầu là ${\left( x - 1 \right)^2} + {\left( y - \dfrac{3}{2} \right)^2} + {\left( z - 2 \right)^2} = \dfrac{29}{4}$ .
» Chọn ĐÚNG.
a) Mặt cầu tâm $O$ , bán kính $OA$ có phương trình là $x^2 + y^2 + z^2 = 2$
b) Mặt cầu tâm $A$ , đi qua $C$ có phương trình là ${\left( x - 2 \right)^2} + y^2 + z^2 = 13$
c) Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $O$ lên $\left( ACO' \right)$ , mặt cầu tâm $O$ đi qua $H$ có phương trình là $x^2 + y^2 + z^2 = \dfrac{12}{61}$
d) Mặt cầu đi qua các đỉnh của hình hộp có phương trình là ${\left( x - 1 \right)^2} + {\left( y - \dfrac{3}{2} \right)^2} + {\left( z - 2 \right)^2} = \dfrac{29}{4}$
Câu 15. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P): 2x + 2y - z + 5 = 0$ và điểm $A(1; 2; -1)$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên mặt phẳng $(P)$. Mệnh đề nào sau đây đúng, mệnh đề nào sai?
a) ĐÚNG. Khoảng cách từ $A$ đến $(P)$ là: $d(A, (P)) = \dfrac{|2\cdot 1 + 2\cdot 2 - (-1) + 5|}{\sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2}} = \dfrac{12}{3} = 4$.
b) SAI. Đường thẳng $AH$ đi qua $A(1;2;-1)$ và có VTCP $\vec{n}_P = (2; 2; -1)$ nên có PT: $\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 2 + 2t \\ z = -1 - t \end{cases}$.
Thay vào phương trình $(P)$: $2(1+2t) + 2(2+2t) - (-1-t) + 5 = 0 \Leftrightarrow 9t + 12 = 0 \Leftrightarrow t = -\dfrac{4}{3}$.
Suy ra $H\left(-\dfrac{5}{3}; -\dfrac{2}{3}; \dfrac{1}{3}\right) \neq (-1; 0; 0)$.
c) ĐÚNG. Theo lập luận ở ý b, đường thẳng $AH$ đi qua $A$ và vuông góc với $(P)$ nên nhận VTPT của $(P)$ làm VTCP.
d) SAI. Mặt phẳng $(Q)$ song song với $(P)$ nên có dạng $2x + 2y - z + D = 0$. Vì $A(1; 2; -1) \in (Q)$ nên $2\cdot 1 + 2\cdot 2 - (-1) + D = 0 \Leftrightarrow 7 + D = 0 \Leftrightarrow D = -7$.
Vậy phương trình $(Q)$ là $2x + 2y - z - 7 = 0$.
a) Khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(P)$ bằng $4$
b) Tọa độ điểm $H$ là $(-1; 0; 0)$
c) Đường thẳng $AH$ có phương trình tham số là $\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 2 + 2t \\ z = -1 - t \end{cases}$
d) Mặt phẳng $(Q)$ đi qua $A$ và song song với $(P)$ có phương trình $2x + 2y - z - 5 = 0$
Câu 16. Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta: \dfrac{x}{2} = \dfrac{y-1}{1} = \dfrac{z-2}{-1}$ và mặt phẳng $(Q): x - 2y + 2z = 0$. Mặt cầu $(S)$ có tâm $I$ là giao điểm của $\Delta$ và $(Q)$. Biết $(S)$ cắt mặt phẳng $(Oxz)$ theo một đường tròn có bán kính $r = 3$.
a) ĐÚNG. Tâm $I \in \Delta \Rightarrow I(2t; 1+t; 2-t)$. Thay tọa độ $I$ vào phương trình $(Q)$, ta có:
$2t - 2(1+t) + 2(2-t) = 0 \Leftrightarrow 2t - 2 - 2t + 4 - 2t = 0 \Leftrightarrow -2t + 2 = 0 \Leftrightarrow t = 1$.
Với $t = 1 \Rightarrow I(2; 2; 1)$.
b) SAI. Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng $(Oxz)$ đi qua gốc tọa độ và vuông góc với trục $Oy$, do đó có phương trình là $y = 0$.
c) ĐÚNG. Khoảng cách từ tâm $I(2; 2; 1)$ đến mặt phẳng $(Oxz): y = 0$ là $d = |y_I| = |2| = 2$.
d) SAI. Vì mặt cầu $(S)$ cắt mặt phẳng $(Oxz)$ theo một đường tròn lớn nên tâm $I$ của mặt cầu phải thuộc mặt phẳng $(Oxz)$.
Khi đó $d(I, (Oxz)) = 0$, dẫn đến bán kính mặt cầu $R$ chính bằng bán kính đường tròn lớn $r = 3$.
Tuy nhiên, theo tính toán ở ý c, $d(I, (Oxz)) = 2 \neq 0$, ta có $R = \sqrt{r^2 + d^2} = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{13}$).
a) Tâm của mặt cầu là điểm $I(2; 2; 1)$
b) Mặt phẳng $(Oxz)$ có phương trình là $x + z = 0$
c) Khoảng cách từ tâm $I$ đến mặt phẳng $(Oxz)$ bằng $2$
d) Phương trình mặt cầu $(S)$ là $(x-2)^2 + (y-2)^2 + (z-1)^2 = 9$
Câu 17. Trong không gian $Oxyz$, có bao nhiêu giá trị nguyên dương $m$ để phương trình $x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 4y - 2z + m = 0$ là phương trình của một mặt cầu?
Các hệ số của phương trình là: $a = 2, b = -2, c = 1, d = m$.
Để phương trình đã cho là phương trình của một mặt cầu, điều kiện cần và đủ là:
$a^2 + b^2 + c^2 - d > 0 \Leftrightarrow 2^2 + (-2)^2 + 1^2 - m > 0$
$\Leftrightarrow 4 + 4 + 1 - m > 0 \Leftrightarrow 9 - m > 0 \Leftrightarrow m < 9$.
Vì $m$ là số nguyên dương nên $m \in \{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8\}$.
Vậy có $8$ giá trị nguyên dương của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 18. Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(2; 1; 1), B(0; -1; 3)$ và đường thẳng $d: \begin{cases} x = 1 \\ y = t \\ z = 2 - t \end{cases}$. Gọi $(S)$ là mặt cầu đi qua hai điểm $A, B$ và có tâm thuộc đường thẳng $d$. Bán kính của mặt cầu $(S)$ có dạng $R = a\sqrt{b}$ ($a, b$ là các số nguyên dương). Tính giá trị của $P = a + b$.
Tâm $I \in d \Rightarrow I(1; t; 2 - t)$.
Ta có $\overrightarrow{AI} = (-1; t - 1; 1 - t)$ và $\overrightarrow{BI} = (1; t + 1; -1 - t)$.
Mặt cầu $(S)$ đi qua $A, B$ nên $IA^2 = IB^2$:
$(-1)^2 + (t - 1)^2 + (1 - t)^2 = 1^2 + (t + 1)^2 + (-1 - t)^2$
$\Leftrightarrow 1 + 2(t - 1)^2 = 1 + 2(t + 1)^2$
$\Leftrightarrow (t - 1)^2 = (t + 1)^2 \Leftrightarrow t^2 - 2t + 1 = t^2 + 2t + 1 \Leftrightarrow t = 0$.
Với $t = 0 \Rightarrow I(1; 0; 2)$.
Bán kính $R = IA = \sqrt{(1-2)^2 + (0-1)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$.
Suy ra $a = 1, b = 3$. Vậy $P = a + b = 4$.
Câu 19. Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(3; -1; 1)$ và đường thẳng $d: \dfrac{x - 1}{2} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{z + 2}{-1}$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $d$. Biết đường thẳng $AH$ có một vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a; b; c)$ với $a, b, c \in \mathbb{Z}$ và $a, b, c$ là các số nguyên tố cùng nhau, $a > 0$. Tính giá trị của biểu thức $S = a - b + c$.
Phương trình tham số của đường thẳng $d$: $\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = t \\ z = -2 - t \end{cases}$. Vectơ chỉ phương của $d$ là $\vec{u}_d = (2; 1; -1)$.
Vì $H \in d$ nên tọa độ điểm $H$ có dạng $H(1 + 2t; t; -2 - t)$, suy ra $\overrightarrow{AH} = (2t - 2; t + 1; -t - 3)$.
Vì $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $d$ nên $AH \perp d$, ta có:
$\overrightarrow{AH} \cdot \vec{u}_d = 0 \Leftrightarrow 2(2t - 2) + 1(t + 1) - 1(-t - 3) = 0$
$\Leftrightarrow 4t - 4 + t + 1 + t + 3 = 0 \Leftrightarrow 6t = 0 \Leftrightarrow t = 0$.
Với $t = 0$, ta có $\overrightarrow{AH} = (-2; 1; -3)$.
Đường thẳng $AH$ có một vectơ chỉ phương là $\vec{u} = (a; b; c)$.
Theo bài ra $a, b, c \in \mathbb{Z}$ nguyên tố cùng nhau và chọn $a > 0$, ta có $\vec{u} = -\overrightarrow{AH} = (2; -1; 3)$.
Suy ra $a = 2, b = -1, c = 3$.
Vậy $S = a - b + c = 2 - (-1) + 3 = 6$.
Câu 20. Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A(1; 1; 1), B(2; 3; 1), C(1; 2; 2)$ và $M(5; 2; 3)$. Tính khoảng cách từ điểm $M$ đến mặt phẳng $(ABC)$. (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Ta có $\overrightarrow{AB} = (1; 2; 0)$ và $\overrightarrow{AC} = (0; 1; 1)$.
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(ABC)$ là $\vec{n} = [\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}] = (2; -1; 1)$.
Phương trình mặt phẳng $(ABC)$ đi qua $A(1; 1; 1)$ là:
$2(x - 1) - 1(y - 1) + 1(z - 1) = 0 \Leftrightarrow 2x - y + z - 2 = 0$.
Khoảng cách từ $M(5; 2; 3)$ đến mặt phẳng $(ABC)$ là:
$d(M, (ABC)) = \dfrac{|2 \cdot 5 - 2 + 3 - 2|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2}} = \dfrac{9}{\sqrt{6}} = \dfrac{3\sqrt{6}}{2} \approx 3,6742$.
Đáp án: $3,67$.
Câu 21. Tính diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = x^2 - 2x$ và $y = x$. (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ $2$).
Phương trình hoành độ giao điểm: $x^2 - 2x = x \Leftrightarrow x^2 - 3x = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} x &= 0 \\ x &= 3 \end{aligned}\right.$.
Trên đoạn $[0; 3]$, ta có $x \ge x^2 - 2x$.
Diện tích hình phẳng cần tìm là:
$S = \displaystyle\int\limits_0^3 |x^2 - 2x - x| \text{d}x = \displaystyle\int\limits_0^3 (3x - x^2) \text{d}x$
$= \left. \left( \dfrac{3x^2}{2} - \dfrac{x^3}{3} \right) \right|_0^3 = \left( \dfrac{3 \cdot 9}{2} - \dfrac{27}{3} \right) = \dfrac{27}{2} - 9 = \dfrac{9}{2} = 4,50$.
Đáp án: $4,50$
Câu 22. Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1; 1; 1), B(0; 2; 2)$ và mặt phẳng $(P): 2x + y - z - 3 = 0$. Phương trình mặt phẳng $(Q)$ đi qua $A, B$ và vuông góc với $(P)$ có dạng $(Q): ax + by + cz + 6 = 0$. Tính $T = a + b + c$.
Ta có $\overrightarrow{AB} = (-1; 1; 1)$.
Mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_P = (2; 1; -1)$.
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(Q)$ là:
$\vec{n}_Q = [\overrightarrow{AB}, \vec{n}_P] = (-2; 1; -3)$.
Phương trình mặt phẳng $(Q)$ đi qua $A(2; 0; 1)$ là:
$-2(x-2) + 1(y-0) - 3(z-1) = 0 \Leftrightarrow -2x + y - 3z + 7 = 0$.
$A(1; 1; 1), B(0; 2; 2)$).
PT $(Q)$ là $2x - y + 3z - 6 = 0 \Leftrightarrow -2x + y - 3z + 6 = 0$.
Suy ra $a = -2, b = 1, c = -3 \Rightarrow T = -2 + 1 - 3 = -4$.
Số điểm
⚠️ CẢNH BÁO VI PHẠM
Hệ thống phát hiện bạn đã rời khỏi màn hình làm bài hoặc cố gắng chia đôi màn hình.
Vi phạm: 0 /
Nếu vượt quá số lần quy định, bài thi sẽ tự động bị nộp.
- Nhận đường liên kết
- X
- Ứng dụng khác
Nhận xét
Đăng nhận xét