Kiểm Tra _ Lần 4_ K12- Đề 1
- Nhận đường liên kết
- X
- Ứng dụng khác
| Trường THPT ĐÀO SƠN TÂY | KIỂM TRA THƯỜNG XUYÊN |
|---|---|
| Tổ Toán | Môn: Toán, Lớp 10 |
Mời các bạn nhập thông tin.
Danh sách câu
Câu 1. Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt cầu $\left( S \right):x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 8y - 2z - 4 = 0$ . Tọa độ tâm $I$ và bán kính $R$ của mặt cầu $\left( S \right)$ là
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 2; - 4;1 \right)$ và bán kính $R = \sqrt {2^2 + {{\left( - 4 \right)}^2} + 1^2 - \left( - 4 \right)} = 5$ .
Câu 2. Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên ${\mathbb{R}}.$ Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = f\left( x \right),y = 0, x = - 2$ và $x = 3$ (như hình vẽ). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Ta có
$ S = \displaystyle\int\limits_{ - 2}^3 {\left| f\left( x \right) \right|{\text{d}}x} = \displaystyle\int\limits_{ - 2}^1 {\left| f\left( x \right) \right|{\text{d}}x} + \displaystyle\int\limits_1^3 {\left| f\left( x \right) \right|{\text{d}}x} = \displaystyle\int\limits_{ - 2}^1 {f\left( x \right){\text{d}}x} - \displaystyle\int\limits_1^3 {f\left( x \right){\text{d}}x} $
Câu 3. Trong các phương trình sau, phương trình nào không phải là phương trình của mặt cầu?
Xét phương trình $x^2 + y^2 + z^2 + 2x + 2y - 4z + 11 = 0$
Có $a = \dfrac{2}{ - 2} = - 1$ ; $b = \dfrac{2}{ - 2} = - 1$ ; $c = \dfrac{ - 4}{ - 2} = 2$ ; $d = 11$
Ta có $a^2 + b^2 + c^2 - d= {\left( - 1 \right)^2} + {\left( - 1 \right)^2} + 2^2 - 11= - 5 < 0$
Câu 4. Hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = 4 + 2x - x^2$ , $y = x^2$ , $x = - 1$ , $x = 2$ có diện tích là
Ta có:
$ 4 + 2x - x^2 = x^2\Leftrightarrow - 2x^2 + 2x + 4 = 0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x = - 1 \cr x = 2 \cr \end{matrix} \right.. $
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = 4 + 2x - x^2$ , $y = x^2$ , $x = - 1$ , $x = 2$ là
$ S = \displaystyle\int\limits_{ - 1}^2 {\left| 4 + 2x - x^2 - x^2 \right|{\text{d}}x}= \displaystyle\int\limits_{ - 1}^2 {\left( 4 + 2x - 2x^2 \right){\text{d}}x}= \left. {\left( 4x + x^2 - \dfrac{2x^3}{3} \right)} \right|_{ - 1}^2= 9 $
(đvdt).
Câu 5. Cho đường thẳng $\Delta$ có phương trình $\left\{ \begin{matrix} x = 3 - t \cr y = - 1 \cr z = 3t \cr \end{matrix} \right.{\text{ }}\left( t \in {\mathbb{R}} \right)$ . Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của $\Delta$ ?
$\Delta$ : $\left\{ \begin{matrix} x = 3 - t \cr y = - 1 \cr z = 3t \cr \end{matrix} \right.{\text{ }}\left( t \in {\mathbb{R}} \right)$ có một vectơ chỉ phương là ${\overrightarrow u_4} = \left( - 1;0;3 \right)$ .
Câu 6. Trong không gian $Oxyz$ , phương trình chính tắc của đường thẳng $AB$ với $A\left( 1;1;2 \right)$ và $B\left( - 4;3; - 2 \right)$ là:
Đường thẳng $AB$ đi qua điểm $B\left( - 4;3; - 2 \right)$ , nhận $\overrightarrow {AB} = \left( - 5;2; - 4 \right)$ làm vectơ chỉ phương, có phương trình chính tắc là: $\dfrac{x + 4}{ - 5} = \dfrac{y - 3}{2} = \dfrac{z + 2}{ - 4}$ .
Câu 7. Trong không gian $Oxyz,$ cho hai đường thẳng ${\Delta _1}:\left\{ \begin{matrix} x = 5 - 2t \cr y = 5 + 3t \cr z = 2t \cr \end{matrix} \right.$ , ${\Delta _2}:\dfrac{x - 1}{1} = \dfrac{y + 3}{ - 2} = \dfrac{z - 6}{4}$ . Góc giữa hai đường thẳng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ bằng
Ta có VTCP của ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ lần lượt là $\overrightarrow {a_1} \left( 2; - 3; 2 \right)$ và $\overrightarrow {a_2} \left( 1; - 2; 4 \right)\Rightarrow \overrightarrow {a_1} .\overrightarrow {a_2} = 0$
Vậy góc giữa ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ bằng $90^o$ .
Câu 8. Trong không gian Oxyz, tọa độ nào sau đây là tọa độ của một véctơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta :\left\{ {\begin{matrix} {x = 2 + 4t} \\ {y = 1 - 6t} \\ {z = 9t} \\ \end{matrix} } \right.,\left( t \in {\mathbb{R} } \right)?$
Từ phương trình $\Delta$ suy ra véctơ chỉ phương của $\Delta$ là $\overrightarrow u = \left( 4; - 6; 9 \right) = 12\left( \dfrac{1}{3}; \dfrac{ - 1}{2}; \dfrac{3}{4} \right)$
Câu 9. Cho $\displaystyle\int_{-2}^2 f(x) \mathrm{d}x = -1$ và $\displaystyle\int_{-2}^2 g(x) \mathrm{d}x = 3$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
a) Ta có $\displaystyle\int_{-2}^2 [f(x) + g(x)] \mathrm{d}x = \int_{-2}^2 f(x) \mathrm{d}x + \int_{-2}^2 g(x) \mathrm{d}x = (-1) + 3 = 2 \neq 8$. Suy ra ý a) sai.
b) Ta có $\displaystyle\int_{-2}^2 [f(x) - g(x)] \mathrm{d}x = \int_{-2}^2 f(x) \mathrm{d}x - \int_{-2}^2 g(x) \mathrm{d}x = (-1) - 3 = -4 \neq 4$. Suy ra ý b) sai.
c) Ta có $\displaystyle\int_{-2}^2 5f(x) \mathrm{d}x = 5 \int_{-2}^2 f(x) \mathrm{d}x = 5 \cdot (-1) = -5 \neq 5$. Suy ra ý c) sai.
d) Ta có $\displaystyle\int_{-2}^2 [3f(x) - 4g(x)] \mathrm{d}x = 3 \int_{-2}^2 f(x) \mathrm{d}x - 4 \int_{-2}^2 g(x) \mathrm{d}x = 3 \cdot (-1) - 4 \cdot 3 = -15$. Suy ra ý d) đúng.
Câu 10. Cho $\displaystyle\int\limits_0^m {\left( 3x^2 - 2x + 1 \right){\text{d}}x} = 6$ . Giá trị của tham số $m$ thuộc khoảng nào sau đây?
Ta có:
$ \displaystyle\int\limits_0^m {\left( 3x^2 - 2x + 1 \right){\text{d}}x} = \left. {\left( x^3 - x^2 + x \right)} \right|_0^m = m^3 - m^2 + m \displaystyle\int\limits_0^m {\left( 3x^2 - 2x + 1 \right){\text{d}}x} = 6\Leftrightarrow {m^3} - m^2 + m - 6 = 0 \Leftrightarrow m = 2 \in \left( 0 ; 4 \right) $
Vậy $m = 2 \in \left( 0 ; 4 \right)$ .
Câu 11. Cho $f(x)$ là hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ và $\displaystyle\int_0^1 f(x) \mathrm{d}x = 4$; $\displaystyle\int_0^3 f(x) \mathrm{d}x = 6$. Tính $I = \displaystyle\int_{-1}^3 f(|u|) \mathrm{d}u$.
Ta có $I = \displaystyle\int_{-1}^3 f(|u|) \mathrm{d}u = \int_{-1}^0 f(|u|) \mathrm{d}u + \int_0^3 f(|u|) \mathrm{d}u$.
a) Xét $I_1 = \displaystyle\int_{-1}^0 f(|u|) \mathrm{d}u$. Với $u \in [-1; 0]$ thì $|u| = -u$, nên $I_1 = \displaystyle\int_{-1}^0 f(-u) \mathrm{d}u$.
Đặt $x = -u \Rightarrow \mathrm{d}x = -\mathrm{d}u$. Đổi cận: $u = -1 \Rightarrow x = 1$; $u = 0 \Rightarrow x = 0$.
Suy ra $I_1 = -\displaystyle\int_1^0 f(x) \mathrm{d}x = \int_0^1 f(x) \mathrm{d}x = 4$.
b) Xét $I_2 = \displaystyle\int_0^3 f(|u|) \mathrm{d}u$. Với $u \in [0; 3]$ thì $|u| = u$, nên $I_2 = \displaystyle\int_0^3 f(u) \mathrm{d}u$.
Theo giả thiết $\displaystyle\int_0^3 f(x) \mathrm{d}x = 6$, suy ra $I_2 = 6$.
c) Vậy $I = I_1 + I_2 = 4 + 6 = 10$.
Câu 12. Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $M(1;0;0)$, $N(0;1;0)$ và $P(0;0;1)$. Cosin của góc giữa hai mặt phẳng $(MNP)$ và mặt phẳng $(Oxy)$ bằng
a) Phương trình mặt phẳng $(MNP)$ theo đoạn chắn là: $\dfrac{x}{1} + \dfrac{y}{1} + \dfrac{z}{1} = 1 \Leftrightarrow x + y + z - 1 = 0$.
Mặt phẳng $(MNP)$ có một VTPT là $\vec{n} = (1;1;1)$.
b) Mặt phẳng $(Oxy)$ có phương trình $z = 0$ nên có một VTPT là $\vec{k} = (0;0;1)$.
c) Gọi $\varphi$ là góc giữa hai mặt phẳng $(MNP)$ và $(Oxy)$. Ta có:
$\cos \varphi = \dfrac{|\vec{n} \cdot \vec{k}|}{|\vec{n}| \cdot |\vec{k}|} = \dfrac{|1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 1|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2} \cdot \sqrt{0^2+0^2+1^2}} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}.$
Câu 13. Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta: \dfrac{x}{-1} = \dfrac{y+3}{2} = \dfrac{z-2}{3}$ và mặt phẳng $(P): x + 2y - z + 2025 = 0$.
a) $\Delta$ có VTCP $\vec{u} = (-1; 2; 3)$, $(P)$ có VTPT $\vec{n} = (1; 2; -1)$.
Ta có $\sin(\Delta, (P)) = \dfrac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{n}|} = \dfrac{|-1+4-3|}{\sqrt{14}\cdot\sqrt{6}} = 0 \Rightarrow (\Delta, (P)) = 0^\circ \neq 90^\circ$. Suy ra ý a) SAI.
b) Hình chiếu $H(3;-1;2)$ của $O$ lên $(P)$ nên $(P)$ có VTPT $\vec{n}_H = \vec{OH} = (3;-1;2)$.
$\sin \alpha = \dfrac{|\vec{u} \cdot \vec{n}_H|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{n}_H|} = \dfrac{|-3-2+6|}{\sqrt{14}\cdot\sqrt{14}} = \dfrac{1}{14} \Rightarrow \cos \alpha = \sqrt{1 - \left(\dfrac{1}{14}\right)^2} = \dfrac{\sqrt{195}}{14} \neq \dfrac{1}{14}$. Suy ra ý b) SAI.
c) $(P)$ có $\vec{n}_P = (1;2;-1)$, $(Oxy)$ có $\vec{k} = (0;0;1)$.
VTCP của $d_1$ là $\vec{a} = [\vec{n}_P, \vec{k}] = (2;-1;0)$. Mặt phẳng $(Oxz)$ có VTPT $\vec{j} = (0;1;0)$.
$\sin \beta = \dfrac{|\vec{a} \cdot \vec{j}|}{|\vec{a}| \cdot |\vec{j}|} = \dfrac{|-1|}{\sqrt{5} \cdot 1} = \dfrac{1}{\sqrt{5}} \Rightarrow \beta \approx 26{,}57^\circ < 30^\circ$. Suy ra ý c) SAI.
d) $d_2 \perp (P) \Rightarrow$ VTCP của $d_2$ là $\vec{n}_P = (1;2;-1)$. $(Q)$ có VTPT $\vec{n}_Q = (1;m;0)$.
$\sin 30^\circ = \dfrac{|\vec{n}_P \cdot \vec{n}_Q|}{|\vec{n}_P| \cdot |\vec{n}_Q|} \Leftrightarrow \dfrac{1}{2} = \dfrac{|1+2m|}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{m^2+1}} \Leftrightarrow 6(m^2+1) = 4(4m^2+4m+1)$
$\Leftrightarrow 10m^2 + 16m - 2 = 0 \Leftrightarrow 5m^2 + 8m - 1 = 0$. Theo hệ thức Vi-ét, tổng các giá trị $m$ là $-\dfrac{8}{5} \times 2 = -\dfrac{16}{5}$ (do phương trình có 2 nghiệm phân biệt). Suy ra ý d) ĐÚNG.
a) Số đo góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(P)$ bằng $90^\circ$
b) Biết hình chiếu của $O$ lên $(P)$ là $H(3;-1;2)$. Gọi $\alpha$ là số đo góc giữa $(P)$ và đường thẳng $\Delta$, khi đó $\cos \alpha = \dfrac{1}{14}$
c) Đường thẳng $d_1$ là giao tuyến của $(P)$ và $(Oxy)$. Gọi $\beta$ là góc giữa $d_1$ và mặt phẳng $(Oxz)$. Khi đó $\beta > 30^\circ$
d) Đường thẳng $d_2$ vuông góc với $(P)$ tạo với $(Q): x + my - 3 = 0$ một góc $30^\circ$. Khi đó tổng tất cả các giá trị của tham số $m$ bằng $-\dfrac{16}{5}$
Câu 14. Trong không gian $Oxyz$ cho hình hộp chữ nhật $OABC.O'A'B'C'$ với $O$ là gốc tọa độ, $A\left( 2;0;0 \right)$ , $C\left( 0;3;0 \right)$ , $O'\left( 0;0;4 \right)$ . Ta có
Gắn hệ trục $Oxyz$ như hình vẽ, ta có tọa độ các đỉnh của hình hộp
$O\left( 0;0;0 \right),A\left( 2;0;0 \right);B\left( 2;3;0 \right),C\left( 0;3;0 \right)$ , $O'\left( 0;0;4 \right),A'\left( 2;0;4 \right);B'\left( 2;3;4 \right),C'\left( 0;3;4 \right)$
( $a$ ) Mặt cầu tâm $O$ , bán kính $OA$ có phương trình là $x^2 + y^2 + z^2 = 2$ .
Ta có $OA = 2$ , mặt cầu tâm $O$ , bán kính $OA$ có phương trình là $x^2 + y^2 + z^2 = 4$ .
» Chọn SAI.
( $b$ ) Mặt cầu tâm $A$ , đi qua $C$ có phương trình là ${\left( x - 2 \right)^2} + y^2 + z^2 = 13$ .
Ta có $A{C^2} = O{A^2} + O{C^2} = 4 + 9 = 13 \Rightarrow$ mặt cầu tâm $A$ , đi qua $C$ có phương trình là ${\left( x - 2 \right)^2} + y^2 + z^2 = 13$ .
» Chọn ĐÚNG.
( $c$ )
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $O$ lên $\left( ACO' \right)$ , mặt cầu tâm $O$ đi qua $H$ có phương trình là $x^2 + y^2 + z^2 = \dfrac{12}{61}$ .
Ta có $\left( ACO' \right):\dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{3} + \dfrac{z}{4} = 1 \Leftrightarrow 6x + 4y + 3z - 12 = 0$ .
$R = d\left( O,\left( ACO' \right) \right) = \dfrac{\left | - 12 \right |}{\sqrt{36 + 16 + 9}} = \dfrac{12}{\sqrt{61}}$ .
Vậy phương trình mặt cầu $x^2 + y^2 + z^2 = \dfrac{144}{61}$
» Chọn SAI.
( $d$ ) Mặt cầu đi qua các đỉnh của hình hộp có phương trình là ${\left( x - 1 \right)^2} + {\left( y - \dfrac{3}{2} \right)^2} + {\left( z - 2 \right)^2} = \dfrac{29}{4}$ .
Mặt cầu đi qua các đỉnh của hình hộp có tâm $I$ là trung điểm của $OB' \Rightarrow I\left( 1;\dfrac{3}{2};2 \right)$ và có bán kính $R = \dfrac{OB'}{2} = \dfrac{\sqrt{29}}{2}$ .
Phương trình mặt cầu là ${\left( x - 1 \right)^2} + {\left( y - \dfrac{3}{2} \right)^2} + {\left( z - 2 \right)^2} = \dfrac{29}{4}$ .
» Chọn ĐÚNG.
a) Mặt cầu tâm $O$ , bán kính $OA$ có phương trình là $x^2 + y^2 + z^2 = 2$
b) Mặt cầu tâm $A$ , đi qua $C$ có phương trình là ${\left( x - 2 \right)^2} + y^2 + z^2 = 13$
c) Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $O$ lên $\left( ACO' \right)$ , mặt cầu tâm $O$ đi qua $H$ có phương trình là $x^2 + y^2 + z^2 = \dfrac{12}{61}$
d) Mặt cầu đi qua các đỉnh của hình hộp có phương trình là ${\left( x - 1 \right)^2} + {\left( y - \dfrac{3}{2} \right)^2} + {\left( z - 2 \right)^2} = \dfrac{29}{4}$
Câu 15. Trong không gian $Oxyz$ , cho bốn điểm $A\left( 1;1;4 \right);B\left( 2;7;9 \right);C\left( 0;9;13 \right)$ ; $D\left( 1;8;10 \right)$ . Mệnh đề nào sau đây đúng và mệnh đề nào sai?
( $a$ ) $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow i + 6\overrightarrow j + 5\overrightarrow k$ .
Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( 1;6;5 \right)$ ; $\overrightarrow {AC} = \left( - 1;8;9 \right)$ ,
$ \overrightarrow {AB} = \left( 1;6;5 \right)\Rightarrow \overrightarrow {AB} = \overrightarrow i + 6\overrightarrow j + 5\overrightarrow k. $
» Chọn ĐÚNG.
( $b$ ) $\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {AC}$ .
$\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {AC} \Leftrightarrow 1.\left( - 1 \right) + 6.8 + 5.9 = 0$ vô lí.
» Chọn SAI.
(c) Phương trình mặt phẳng đi qua điểm $B$ và vuông góc với $AC$ là $x - 8y - 9z + 14 = 0$ .
Phương trình mặt phẳng đi qua điểm $B$ và vuông góc với $AC$ có dạng:
$- \left( x - 2 \right) + 8\left( y - 7 \right) + 9\left( z - 9 \right) = 0 \Leftrightarrow x - 8y - 9z + 135 = 0$
» Chọn SAI.
(d) Phương trình mặt phẳng chứa $AB$ song song với $CD$ là $8x - 7y - 13z + 50 = 0$ .
Ta có
$ \overrightarrow {AB} = \left( 1;6;5 \right) \overrightarrow {CD} = \left( 1; - 1; - 3 \right) \Rightarrow \left[ \overrightarrow {AB} \overrightarrow {CD} \right] = \left(- 13 ; 8 ; - 7 \right)$
Phương trình mặt phẳng cần tìm:
$ - 13 \left( x - 1 \right) + 8 \left( y - 1 \right) - 7 \left( z - 4 \right) = 0 \Leftrightarrow 13x - 8y + 17z - 33 = 0$.
» Chọn SAI.
a) $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow i + 6\overrightarrow j + 5\overrightarrow k$
b) $\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {AC}$
c) Phương trình mặt phẳng đi qua điểm $B$ và vuông góc với $AC$ là $x - 8y - 9z + 14 = 0$
d) Phương trình mặt phẳng chứa $AB$ song song với $CD$ là $8x - 7y - 13z + 50 = 0$
Câu 16. Trong không gian $Oxyz$ , cho đường thẳng $d:x = \dfrac{y - 1}{2} = \dfrac{z - 2}{ - 1}$ và mặt phẳng $\left( P \right): 3x + y - z - 5 = 0$ . Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I$ thuộc đường thẳng $d$ và cắt mặt phẳng $\left( P \right)$ theo giao tuyến là đường tròn lớn nhất có bán kính $r = 5$ .
( $a$ ) Mặt phẳng $\left( P \right): 3x + y - z - 5 = 0$ có VTPT $\overrightarrow n = \left( 3;1; - 1 \right)$ .
$\left( P \right): 3x + y - z - 5 = 0$ có VTPT là $\overrightarrow n = \left( 3;1; - 1 \right)$ .
» Chọn ĐÚNG.
( $b$ ) Tọa độ tổng quát của tâm $I$ là $\left( t ; - 1 + 2t ; - 2 - t \right)$ .
Ta có: $d:x = \dfrac{y - 1}{2} = \dfrac{z - 2}{ - 1} \Rightarrow d: \left\{ {\begin{matrix}\\ {x = t} \\ {y = 1 + 2t} \\ {z = 2 - t} \\ \end{matrix} } \right. , t \in {\mathbb{R}}I \in d \Rightarrow I\left( t ; 1 + 2t ;2 - t \right)$
» Chọn SAI.
( $c$ ) $d\left( I,\left( P \right) \right) = 3$ .
Do giao tuyến của $\left( S \right)$ và $\left( P \right)$ là đường tròn lớn nên $I \in \left( P \right) \Rightarrow d\left( I,\left( P \right) \right) = 0$ .
» Chọn SAI.
( $d$ ) Mặt cầu $\left( S \right)$ có phương trình là ${\left( x - 1 \right)^2} + {\left( y - 3 \right)^2} + {\left( z - 1 \right)^2} = 25$ .
Ta có $I \in d \Rightarrow I\left( t ; 1 + 2t ;2 - t \right)$
Theo giả thiết $I = d \cap \left( P \right)$ nên tọa độ điểm $I$ thỏa mãn phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$
Thay tọa độ điểm $I$ vào $\left( P \right)$ ta có :
$3t + \left( 1 + 2t \right) - \left( 2 - t \right) - 5 = 0 \Leftrightarrow 6t - 6 = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow I\left( 1 ; 3 ; 1 \right)$
Vì $\left( S \right) \cap \left( P \right)$ theo giao tuyến là đường tròn lớn có bán kính $r = 5$ nên ta có bán kính mặt cầu $\left( S \right)$ là $R = r = 5$ .
Vậy mặt cầu có phương trình là: ${\left( x - 1 \right)^2} + {\left( y - 3 \right)^2} + {\left( z - 1 \right)^2} = 25$ .
» Chọn ĐÚNG
a) Mặt phẳng $\left( P \right): 3x + y - z - 5 = 0$ có VTPT $\overrightarrow n = \left( 3;1; - 1 \right)$
b) Tọa độ tổng quát của tâm $I$ là $\left( t ; - 1 + 2t ; - 2 - t \right)$
c) $d\left( I,\left( P \right) \right) = 3$
d) Mặt cầu $\left( S \right)$ có phương trình là ${\left( x - 1 \right)^2} + {\left( y - 3 \right)^2} + {\left( z - 1 \right)^2} = 25$
Câu 17. Trong không gian $Oxyz$ , có bao nhiêu giá trị nguyên dương $m$ để phương trình $x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 2y - 4z + m = 0$ là phương trình của một mặt cầu?
Ta có: $x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 2y - 4z + m = 0 \Leftrightarrow {\left( x - 1 \right)^2} + {\left( y - 1 \right)^2} + {\left( z - 2 \right)^2} = 6 - m$ .
Để phương trình trên là phương trình mặt cầu thì $6 - m > 0 \Leftrightarrow m < 6$ .
Vậy giá trị nguyên dương $m$ cần tìm là $1;2;3;4;5$ .
Vậy có $5$ giá trị thỏa đề.
Đáp án: $5$
Câu 18. Cho các điểm $A( - 2;4;1),B( 2;0;3)$ và đường thẳng d:
$ \left\{\begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 1 + 2t \\ z = -2 + t \end{matrix} \right.$
Gọi $\left( S \right)$ là mặt cầu đi qua $A,B$ và có tâm thuộc đường thẳng $d$ . Bán kính của mặt cầu $\left( S \right)$ là $R = a\sqrt b$ , tính giá trị của $P = a + b$ ?
Câu 19. Trong không gian $Oxyz,$ cho điểm $A\left( 0;2; - 4 \right)$ và hai đường thẳng $d_1:\dfrac{x - 2}{1} = \dfrac{y - 1}{ - 1} = \dfrac{z + 1}{2}$ . Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên đường thẳng $d_1.$ Đường thẳng $AH$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( a;b;c \right)$ với $a, b, c \in \mathbb{Z}$ và là các số nguyên tố cùng nhau, $a > 0$ . Khi đó $2a - b + c$ bằng
Ta có phương trình tham số của $d_1$ là $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \cr\\ y = 1 - t \cr\\ z = - 1 + 2t \cr\\ \end{matrix} \right..$
Đường thẳng $d_1$ có một vectơ chỉ phương là ${\overrightarrow u_1} = \left( 1; - 1;2 \right)$
Điểm $H \in {d_1}$ nên $H\left( 2 + t;1 - t; - 1 + 2t \right) \Rightarrow \overrightarrow {AH} = \left( 2 + t; - 1 - t;3 + 2t \right).$
Vì $H$ là hình chiếu của $A$ trên đường thẳng $d_1$ nên $\overrightarrow {AH} \bot {\overrightarrow u_1} \Leftrightarrow \overrightarrow {AH} .{\overrightarrow u_1} = 0$ hay
$\left( 2 + t \right).1 + \left( - 1 - t \right).\left( - 1 \right) + \left( 3 + 2t \right).2 = 0 \Leftrightarrow 6t + 9 = 0 \Leftrightarrow t = - \dfrac{3}{2}$
Khi đó $\overrightarrow {AH} = \left( \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};0 \right).$
Vì $a,b,c \in {\Bbb Z}$ nên đường thẳng $AH$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = 2\overrightarrow {AH} = \left( 1;1;0 \right)$ .
Vậy $2a - b + c = 2.1 - 1 + 0 = 1$ .
Đáp án: $1$
Câu 20. Trong không gian Oxyz, cho các điểm $A\left( 0;1;2 \right),B\left( 2; - 2;1 \right)$ , $C\left( - 2;1;0 \right),M\left( 3;0;1 \right)$ . Tính khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $\left( ABC \right)$ , (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Ta có:$ \overrightarrow {AB} = \left( 2; - 3; - 1 \right);\overrightarrow {AC} = \left( - 2;0; - 2 \right).$
$ \left[ \overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \right] = \left( \left| \begin{matrix}\\ - 3 \hfill \cr\\ 0 \hfill \cr\\ \end{matrix} \right.\,\,\,\,\left. \begin{matrix}\\ - 1 \hfill \cr\\ - 2 \hfill \cr\\ \end{matrix} \right|;\left| \begin{matrix}\\ - 1 \hfill \cr\\ - 2 \hfill \cr\\ \end{matrix} \right.\,\,\,\,\left. \begin{matrix}\\ \,\,\,2 \hfill \cr\\ - 2 \hfill \cr\\ \end{matrix} \right|;\left| \begin{matrix}\\ 2 \hfill \cr\\ - 2 \hfill \cr\\ \end{matrix} \right.\,\,\,\,\left. \begin{matrix}\\ - 3 \hfill \cr\\ \,\,\,0 \hfill \cr\\ \end{matrix} \right| \right) = \left( 6;6; - 6 \right).$
Chọn $\overrightarrow n = \dfrac{1}{6}\left[ \overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \right] = \left( 1;1; - 1 \right)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( ABC \right).$
Phương trình mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là: $x + y - 1 - z + 2 = 0 \Leftrightarrow x + y - z + 1 = 0. $
$d\left( M,\left( ABC \right) \right) = \dfrac{\left | 3 + 0 - 1 + 1 \right |}{\sqrt{1^2 + 1^2 + {{\left ( - 1 \right )}^2}}} = \sqrt 3 \approx 1,73.$
Đáp án: $ 1,73$
Câu 21. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường: $y = \sqrt {2x}$ , $y = \dfrac{x^2}{2}$ , $x = 0$ , $x = 2$ (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ $2$ )
Ta có: $\dfrac{x^2}{2} = \sqrt {2x}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\\ x \geqslant 0 \cr\\ \dfrac{x^4}{4} = 2x \cr\\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\\ x \geqslant 0 \cr\\ x^4 - 8x = 0 \cr\\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\\ x \geqslant 0 \cr\\ \left[ \begin{matrix}\\ x = 0 \cr\\ x = 2 \cr\\ \end{matrix} \right. \cr\\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}\\ x = 0 \cr\\ x = 2 \cr\\ \end{matrix} \right.$ .
Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = \sqrt {2x}$ , $y = \dfrac{x^2}{2}$ , $x = 0$ , $x = 2$ là:
$S = \displaystyle\int\limits_0^2 {\left| \dfrac{x^2}{2} - \sqrt {2x} \right|{\text{d}}x}= \displaystyle\int\limits_0^2 {\left( \sqrt {2x} - {{\dfrac{x}{2}}^2} \right){\text{d}}x}= \left. {\left[ \dfrac{1}{3}{{\left( 2x \right)}^{\dfrac{3}{2}}} - {{\dfrac{x}{6}}^3} \right]} \right|_0^2= \dfrac{1}{3}{.4^{\dfrac{3}{2}}} - \dfrac{2^3}{6}= \dfrac{4}{3}$ (đvdt).
Đáp án: $ 1,33$
Câu 22. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A\left( 1;2;0 \right), B\left( 3;4; - 2 \right)$ và $\left( P \right):\,\,x - y + z - 4 = 0$. Phương trình mặt phẳng $\left( Q \right)$ đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right)$, có dạng $\left( Q \right):ax + by + cz + 2 = 0.$ Tính $T = a + b + c.$
Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( 2;2; - 2 \right) = 2\left( 1;1; - 1 \right).$
Mặt phẳng $\left( P \right)$có một vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow n_P} = \left( 1; - 1;1 \right).$
Mặt phẳng $\left( Q \right)$ có một vectơ pháp tuyến là ${\overrightarrow n_Q} = \left[ \overrightarrow {AB} ,{{\overrightarrow n}_P} \right] = \left( 0; - 4; - 4 \right) = - 4\left( 0;1;1 \right).$
Vậy phương trình mặt phẳng $\left( Q \right): y + z - 2 = 0 \Leftrightarrow - y - z + 2 = 0 \Rightarrow T = a + b + c = - 2.$
Đáp án: $-2$
Số điểm
⚠️ CẢNH BÁO VI PHẠM
Hệ thống phát hiện bạn đã rời khỏi màn hình làm bài hoặc cố gắng chia đôi màn hình.
Vi phạm: 0 /
Nếu vượt quá số lần quy định, bài thi sẽ tự động bị nộp.
- Nhận đường liên kết
- X
- Ứng dụng khác
Nhận xét
Đăng nhận xét